שאול ביבר נולד ב-29 בנובמבר 1922. ילדותו עברה בתחילה בקרית-ענבים וב-1930 עברו הוריו לטבריה. הוא המשיך את לימודיו בבית הספר המחוזי בגבעת-השלושה, והשלים את לימודיו בבית הספר החקלאי "כדורי". בשנותיו בטבריה רכש את השפה הערבית ואת הפולקלור המזרחי. במהלך לימודיו הצטרף לתנועת "הנוער העובד" ובחופשות יצא לפעילות בארגון ה"הגנה" ולאימונים במחנה הנוטרים במגדל. עם תום לימודיו, היה שאול ביבר מראשוני המתנדבים לפלמ"ח. הוא שירת כמ"כ וכמ"מ, והיה בוגר הקורס מ-1944, בו חולקה לראשונה סיכת המ"מ המוכרת עד היום.

שאול ביבר שירת בפלמ"ח כמפקד המחלקה הערבית של הש"י, שהוקמה לצורך מודיעין ביישוב הערבי בארץ ובארצות ערב השונות ובהמשך הוכשר כמלווה מעפילים במפעל ההעפלה. עלילותיו תחת הכינוי "עופר" מופיעות בספר "ילקוט הכזבים", לו הוא תרם כמה וכמה צ'יזבאטים.

במלחמת השחרור היה ביבר מ"פ ג'יפים בגדוד ה-9 של חטיבת הנגב, ובהמשך נרתם לפעולות חינוך בצה"ל, תחילה בגייסות שריון ואחר כך במטכ"ל. בשנות החמישים הוא שירת כקצין החינוך של חיל-השריון ובמסגרת התפקיד הוא הקים והפיק את להקת גייסות-השריון. לאחר מכן הוא מונה לתפקיד ראש ענף הווי ובידור במפקדת קצין חינוך ראשי בדרגת סגן-אלוף ומקובל לראות בו את אבי הלהקות הצבאיות.

כשהחלה ב-1957 הפעילות התרבותית הראשונה של צוות בידור בחיל השריון, היתה הרמה נמוכה למדי. שאול ביבר, כקצין החינוך של גייסות השריון, גייס את נעמי פולני, עימה שירת בפלמ"ח, על מנת לביים את הלהקה, ובמקביל גייס יוצרים אחרים לכתיבת החומר ללהקה כמו סשה ארגוב, חיים חפר ונעמי שמר. גם ביבר עצמו היה שותף לכתיבתם של תכניות ללהקה, כמו המחזמר המצליח "למה יו-יו ?" או שירים כמו "כומתת השיריון" אותו כתב והלחין, "מאה קילומטר" אותו כתב, והלהיט הגדול "פשוט שיריונר" אותו הוא הלחין מבלי לדעת לכתוב תווים (הוא נעזר באקורדיוניסט הותיק יוסי גרושקא כדי לתרגם את הלחן לשפת המוסיקה).

עוד במהלך שירותו בשנות החמישים היה שאול ביבר מכוכבי תכנית הרדיו הסאטירית "שלושה בסירה אחת". הוא גם הקים יחד עם זיקו גרציאני בתחילת שנות השישים את מקהלת גברי השריון, שהופיעה בעיקר בימי החיל במתכונת דומה לזו של "מקהלת הצבא האדום".

לאחר שחרורו מצה"ל החל שאול ביבר בפעילות תרבותית ויצירתית עניפה שהפכה אותו לאחד מאושיות הבידור והתרבות בישראל. הוא כתב מערכונים (לבומבה צור, גדי יגיל ואחרים), כתב פזמונים, שהמוכר ביניהם הוא השיר "אוכל" ("אוכל, קדימה אוכל") שביצע בומבה צור, ואף היה שותף עם בומבה צור וישראל 'פוצ'ו' ויסלר לכתיבת התסריט של הסרט "חבורה שכזאת" מ-1963 עפ"י ספרו של ויסלר. ביבר גם כתב, בין היתר, את ספר הפולקלור "עלילות אבו לַיִש"', את המחזמר "דבר מצחיק קרה לי בדרך לסואץ" ואף ערך את תכניתה של ציפי שביט "ציפי ציפי בנג בנג".

שאול ביבר הוא נגן מפוחית-פה וצייר-חובב מוכשר ששימש כמנהל מחלקת האירועים של יחידת ההסברה הממשלתית ואף סייע בקליטת אמנים עולים.

יורם טהרלב הקדיש לשאול ביבר את המקאמה ביידיש : "א ליד צו רב שאול ביבר צו זיין זעכציקער יארצייט".

בשנת 2008 זכה שאול ביבר בפרס "מפעל חיים" בפסטיבל ימי זמר בחולון.

שאול ביבר הלך לעולמו ב-20/7/2013 והוא בן 90.